Système de deux équations linéaires à deux inconnues

Définition

Soit \(a,b,c,a',b'\) et \(c'\) des nombres réels.
On appelle système de deux équations linéaires à deux inconnues \(x\) et \(y\) le système suivant. \(\begin{cases} ax+by=c\\ a'x +b'y = c' \end{cases}\).

Exemple

\(\begin{cases} 3x-2y = 5\\ 4x+2y = 9 \end{cases}\) est un système de deux équations linéaire à deux inconnues.

Notation

On appelle en général \((\text S)\) un système.
On note par exemple : \((\text S):\begin{cases} 3x-2y = 5\\ 4x+2y = 9 \end{cases}\)

Définition 

Soit \(a,b,c,a',b'\) et \(c'\) des nombres réels.
Résoudre le système \((\text S) : \begin{cases} ax+by = c\\ a'x+b'y = c' \end{cases}\) c'est déterminer l'ensemble des couples \((x;y)\)solutions des équations \(ax+by=c\) et \(a'x+b'y=c'\) simultanément, c'est-à-dire l'ensemble des couples \((x;y)\) qui rendent vraies les deux égalités.

Exemple
On considère le système d'équations \((\text S) : \begin{cases} 3x-2y = 5\\ 4x+2y = 9 \end{cases}\).

• On remarque que \(3 \times \color{green}{2} - 2 \times \color{red}{\dfrac{1}{2}} = 5\) et que \(4 \times \color{green}{2} + 2 \times \color{red}{\dfrac{1}{2}} = 9\). Donc le couple \(\left(\color{green}{2};\color{red}{\dfrac{1}{2}}\right)\) est solution de \((\text S)\).
  
• On remarque que \(3 \times \color{green}{1} - 2 \times (\color{red}{-1}) = 5\) et que \(4 \times \color{green}{1} + 2 \times (\color{red}{-1}) = 2\). Donc le couple \(\left(\color{green}{1};\color{red}{-1}\right)\) n'est pas solution de \((\text S)\).
  

Propriété

Soit \(a,b,c,a',b'\) et \(c'\) des nombres réels.
Résoudre le système \((\text S) : \begin{cases} ax+by = c\\ a'x+b'y = c' \end{cases}\)revient à étudier l'intersection de deux droites du plan : les droites d'équations cartésiennes \(ax+by = c\) et \(a'x+b'y = c'\).

• Le système \((\text S)\) admet un unique couple solution lorsque les deux droites sont sécantes. Le couple solution du système correspond aux coordonnées du point d'intersection des deux droites.
  
• Le système \((\text S)\) n'admet aucune solution lorsque les deux droites sont strictement parallèles.
  
• Le système \((\text S)\) admet une infinité de solutions lorsque les deux droites sont confondues.
  

Exemple

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
On considère le système d'équations \((\text S) : \begin{cases} 3x-2y = 5\\ 4x+2y = 9 \end{cases}\).
Considérons la droites \(d\) d'équation \(3x-2y-5=0\) et la droite \(d^{\prime}\) d'équation \(4x+2y-9=0\). Un vecteur directeur de la droite \(d\) est \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ 3\\ \end{pmatrix}\) et un vecteur directeur de la droite \(d^{\prime}\) est \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -2\\ 4\\ \end{pmatrix}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ne sont pas colinéaires, donc les droites \(d\) et \(d^{\prime}\) sont sécantes.

On a vu précédemment que le couple \(\left(2;\dfrac{1}{2}\right)\) est solution de \((\text S)\).

Donc le point d'intersection des droites \(d\) et \(d^{\prime}\) est \(\boxed{\text K \left(2 ; \dfrac{1}{2}\right)}\).